考研高数常用公式汇总

一、高等数学预备知识

1.函数奇偶性

(1)必为奇函数，必为偶函数.

(2)导数与积分奇偶性

偶函数	奇函数	偶函数
奇函数	偶函数	奇函数
当时，周期为T	周期为T	周期为T

(3)奇偶函数运算

2.三角函数相关公式

万能公式：

3.数列、因式分解

(1)等比数列

等比数列
通项
前n项和
当时	有

(2)数列绝对值性质

(3)3次幂的因式分解

4.常用不等式

(1)基本不等式

(2)邻域的不等式

二、极限

1.常用泰勒公式

2.无穷小定义

是的	定义
高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
k阶无穷小

3.常用等价无穷小

4.常用极限运算

5.几种左右极限不同的例子

极限	结果

三、微分学

1.基本求导公式

2.微分学推广公式\结论

(1)导数定义推论

，且处连续，则有，

(2)导函数保号性

(3)反函数的二阶导数

3.多元函数微分

(1)可微定义

(2)全微分

(3)隐函数存在定理

(4)二阶偏导数

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{F’’_{xx}F_y’^2-2F’xF’yF’’{xy}+F_x’^2F’’{yy}}{F’^3_y}$$

四、无穷级数

1.泰勒公式

(1)拉格朗日余项，

(2)配亚诺余项

(3)麦克劳林公式，拉格朗日余项，

(3)麦克劳林公式，配亚诺余项

2.级数敛散性判别法

为数列通项，为数列和，则有：

适用范围	方法	内容
正项级数	收敛原则（定义）	，级数收敛；，级数发散
正项级数	比较判别法	两个正项级数，大的收敛小的必收敛；小的发散大的必发散
正项级数	比较判别法推论	两个正项级数且，，，两个级数同敛散。
正项级数	比值判别法	级数，，若级数收敛；若级数发散，若若该法失效
正项级数	根值判别法	级数，，若级数收敛；若级数发散，若若该法失效
正项级数	积分判别法	级数，在上是连续、非负、单调减少，，则与同敛散性
交错级数	莱布尼茨判别法	级数单调不增，，则交错级数收敛
任意级数	绝对收敛	若级数收敛，则称绝对收敛
任意级数	条件收敛	若级数发散，级数收敛，则称绝对收敛

3.常见的级数敛散性

(1)具体级数的敛散性

级数	敛散性
(几何级数/等比级数)	，
(p级数)	，
(p积分)	，
	，
(广义p级数)	，
(广义p积分)	，
(调和级数)	发散
	收敛
	收敛

(2)抽象级数的判敛散问题

,,均是任意项级数，则有：

条件	结论
为非零常数，	,,中有两个级数收敛，第三个必收敛
收敛	收敛
发散	发散
收敛	不定
收敛	绝对收敛
收敛	不定
收敛	不定
收敛	不定
收敛	（偶数项）不定，（奇数项）不定
收敛	收敛
收敛	不定
收敛	收敛
收敛	收敛
收敛	收敛
收敛	收敛
收敛	不定

4.常见函数的幂级数展开式

展开式	收敛域
	，，，

5.幂级数运算法则

运算法则	公式
通项，下标一起变
通项不变，下标变
通项变，下标不变

五、中值定理

1.中值定理

定理	条件	结论
有界与最值定理	在上连续，	为在上的最小值与最大值
介值定理	在上连续，	存在
(离散的)平均值定理	在上连续，	至少存在一点
零点定理	在上连续，	存在
费马定理	在处可导，在处取极值
罗尔定理	在上连续，在上可导，	存在
拉格朗日中值定理	在上连续，在上可导	存在
柯西中值定理	在上连续，在上可导，	存在
积分中值定理	在上连续，在上可导	存在
导数零点定理	在上可导，$f’+(a) \cdot f’-(b)<0$	存在

2.常见辅助函数的构造方法

对于上式，

当时，

当时，

当时，

六、积分学

1.常用的积分公式

2.积分学推广公式\结论

(1)分步积分推广公式：

(2)区间再现公式

(3)点火公式

(4)积分与连续性

变限积分存在就必定连续.

(5)定积分定义式的推广

定义式：

当a=0，b=1时：

2.常见的无法积分的不定积分

以下积分的结果不能用初等函数表示.

3.二重积分

七、微分方程

1.变量可分离型

2.可化为变量分离型

3.一阶线性微分方程

形如的方程，通解为：

4.伯努利方程

形如的方程，令，，原式化为：

5.（不显含y）型方程

形如的方程，令，原式化为，积分得，通解为：

6.（不显含x）型方程

形如的方程，令，则，原式化为；解得，即，化简积分得：

7.二阶常系数齐次线性微分方程

形如的方程，特征方程为，则

特征根	通解
，两个不等实根
，两个相等实根
，一对共轭复根

8.二阶常系数非齐次线性微分方程

形如的方程，通解=齐次微分方程通解+非齐次微分方程的一个特解。其中特解形式为：

(1)当自由项的形式时，特解设为：.

其中：

• 与自由项的相同；
• 是与同阶的一般n次多项式，例如应设；
• 根据特征根与的关系而定，若不是特征根，k=0；若是单特征根，k=1；若是二重特征根，k=2；

(2)当自由项时，特解设为：

其中：

• 与自由项的相同；
• 是的阶一般多项式，就是取和的最高阶。
• 根据特征根与的关系而定，若不是特征根，k=0；若是特征根，k=1；

9.欧拉方程

形如的方程，

(1)当时，令，则,

则

原式化为：

八、微积分的应用

1.定积分计算平面图形面积

直角坐标系下：

极坐标系下：

参数方程换元：

2.定积分计算旋转体体积

(1)绕x轴旋转

(2)绕y轴旋转

3.相关变化率

若均可导，则

4.曲率

曲率公式：

曲率半径：

参数方程曲率公式：

5.积分求功

(1)变力沿直线做功

(2)抽水做功

6.形心

7.弧长

8.旋转体表面积

9.傅里叶级数

(1)定义

以为周期的函数，满足一定条件，其傅里叶级数处处收敛，其和函数为，有：

	-
	x为连续点
	x为间断点

(2)奇偶性

当f(x)在上是奇函数时，，展开式只含正弦函数，称之为正弦级数.
当f(x)在上是偶函数时，，展开式只含余弦函数，称之为余弦级数.